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求f(x,y,z)=2x+2y—z2+5在区域Ω:x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.
求f(x,y,z)=2x+2y—z2+5在区域Ω:x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.
admin
2019-07-23
35
问题
求f(x,y,z)=2x+2y—z
2
+5在区域Ω:x
2
+y
2
+z
2
≤2上的最大值与最小值.
选项
答案
f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续,一定存在最大、最小值. 第一步,先求f(x,y,z)在Ω内的驻点. 由[*]知f(x,y,z)在Ω内无驻点,因此f(x,y,z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到. 第二步,求f(x,y,z)在Ω的边界x
2
+y
2
+z
2
=2上的最大、最小值,即求f(x,y,z)在条件x
2
+y
2
+z
2
—2=0下的最大、最小值. 令F(x,y,z,λ)=2x+2y—z
2
+5+λ(x
2
+y
2
+z
2
—2),解方程组 [*] 由①,②知x=y,由③知z=0或λ=1.由x=y,z=0代入④知x=y=±1,z=0.当λ =1时由①,②,④也得x=y=一1,z=0.因此得驻点P
1
(一1,一1,0)与P
2
(1,1,0).计算得知f(P
1
)=1,f(P
2
)=9. 因此,f(x,y,z)在Ω的最大值为9,最小值为1.
解析
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考研数学三
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