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  3. 已知数列{x}满足：x0=25，xn=arctanxn—1(n=1，2，3，…)，证明{xn}的极限存在，并求其极限．

已知数列{x}满足：x0=25，xn=arctanxn—1(n=1，2，3，…)，证明{xn}的极限存在，并求其极限．

admin2018-06-14  45
问题 已知数列{x}满足：x0=25，xn=arctanxn—1(n=1，2，3，…)，证明{xn}的极限存在，并求其极限．
选项
答案设f(x)=arctanx—x，则f(0)=0， [*] 所以f(x)单调减少，当x＞0时f(x)＜f(0)=0，即arctanx＜x，于是有 xn=arctanxn—1＜xn—1． 由此可知，数列{xn}单调递减． 又x0=25，x1=arctan25＞0，…，且对每个n，都有xn＞0，根据极限存在准则即知[*]xn存在． 设[*]xn=a，在xn=arctanxn两边取极限得a=arctana，所以a=0，即[*]xn=0．
解析
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考研数学三

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