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已知｜A｜=，试求： (Ⅰ)A12－A22+A32－A42； (Ⅱ)A41+A42+A43+A44．
已知｜A｜=，试求： (Ⅰ)A12－A22+A32－A42； (Ⅱ)A41+A42+A43+A44．
admin
2016-10-26
22
问题
已知｜A｜=
，试求：
(Ⅰ)A
12
－A
22
+A
32
－A
42
；
(Ⅱ)A
41
+A
42
+A
43
+A
44
．
选项
答案
(Ⅰ)虽然我们可以先分别算出每一个代数余子式，然后再求和，但这往往是烦琐的．对于代数余子式的性质应会灵活运用．如能观察到在本题中a
11
=1，a
21
=－1，a
31
=1，a
41
=－1，那么就知 A
12
－A
22
+A
32
－A
42
=a
11
A
12
+a
21
A
22
+a
31
A
32
+a
41
A
42
=0． (Ⅱ)由于A
ij
与a
ij
，无关，现在可构造一个新的行列式(将行列式｜A｜中第4行元素置换成代数余子式A
4j
的系数)，即 [*] 由于｜A｜，｜B｜仅第4行元素：不同，因此新、旧这两个行列式的代数余子式A
41
，A
42
，A
43
，A
44
是完全一样的，而对｜B｜按第4行展开，就有 ｜B｜=1.A
41
+1.A
42
+1.A
43
+1.A
44
=A
41
+A
42
+A
43
+A
44
． 可见，要解(Ⅱ)只需算出行列式｜B｜的值．为此 [*] 即 A
41
+A
42
+A
43
+A
44
=－1．
解析
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[*]
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