2. 考研
  3. 设某厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时总收益函数为R(x，y)=27x+42y－x2－2xy－4y2，总成本函数为C(x，y)=36+12x+8y(单位：万元)。除此之外，生产甲种产品每吨还需支付排污费1万元，生产乙种产品每

设某厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时总收益函数为R(x，y)=27x+42y－x2－2xy－4y2，总成本函数为C(x，y)=36+12x+8y(单位：万元)。除此之外，生产甲种产品每吨还需支付排污费1万元，生产乙种产品每

admin2017-11-30  29
问题 设某厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时总收益函数为R(x，y)=27x+42y－x2－2xy－4y2，总成本函数为C(x，y)=36+12x+8y(单位：万元)。除此之外，生产甲种产品每吨还需支付排污费1万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费2万元。
(Ⅰ)在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?总利润是多少?
(Ⅱ)当限制排污费用支出总和为6万元的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?
选项
答案(Ⅰ)总利润函数L(x，y)为 L(x，y)=R(x，y)－C(x，y)－x－2y=14x+32y－x2－2xy－4y2－36。 求L(x，y)的驻点，令 [*] 可解得唯一驻点x=4，y=3，且此时L(x，y)=40。 因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在不限制排污费用支出的情况下，当甲、乙两种产品的产量分别为x=4(吨)和y=3(吨)时，总利润达到最大值，且总利润是40万元。 (Ⅱ)求总利润函数L(x，y)在约束条件x+2y=6下的最大值，可用拉格朗日乘数法。引入拉格朗日函数 F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(x+2y－6)， 求F(x，y，λ)的驻点，令 [*] 可解得唯一驻点x=2，y=2，且此时L(x，y)=28。 因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，当排污费用限于6万元的情况下，两种产品的产量均为2吨时总利润最大，最大利润为28万元。
解析
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考研数学三

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