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已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4,求a,b的值和正交矩阵P。
已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4,求a,b的值和正交矩阵P。
admin
2018-12-29
24
问题
已知二次曲面方程x
2
+ay
2
+z
2
+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换
化为椭圆柱面方程η
2
+4ζ
2
=4,求a,b的值和正交矩阵P。
选项
答案
根据题意,矩阵[*]是相似的,则tr(A)=tr(B),从而2+a=5,a=3。又因为|A|=|B|,所以b=1。 此时,矩阵A=[*],特征值为λ
1
=0,λ
2
=1,λ
3
=4。 由(λ
i
E—A)x=0,可得属于特征值λ
1
=0,λ
2
=1,λ
3
=4的特征向量分别为 α
1
=(1,0,—1)
T
,α
2
=(1,—1,1)
T
,α
3
=(1,2,1)
T
。 将α
1
,α
2
,α
3
单位化,得到 [*] 令P=[*],即P为所求的正交矩阵。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/ii1RFFFM
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考研数学一
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