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[2016年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )．
[2016年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )．
admin
2019-04-08
35
问题
[2016年] 设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
+4x
2
x
3
，则f(x
1
，x
2
，x
3
)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )．
选项
A、单叶双曲面
B、双叶双曲面
C、椭球面
D、柱面
答案
B
解析
由f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
+4x
2
x
3
易求得其矩阵为
易知A的特征值为
λ
1
=a+(n一1)b=1+(3—1)×2=5， λ
2
=λ
3
=a—b=1—2=一1.
或直接计算由
｜λE—A｜=
=(λ一5)(λ+1)
2
=0
得到λ
1
=5，λ
2
=λ
3
=一1．故此二次型在正交变换X=QY下的标准形为f(y
1
，y
2
，y
3
)=5y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
，因而
f(y
1
，y
2
，y
3
)
5y
1
2
一y
2
2
一y
3
2
=2，
表示双叶双曲面．仅B入选．[img][/img]
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/ifoRFFFM
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考研数学一
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