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设A,B为两个n阶矩阵,且A的n个特征值两两互异.若A的特征向量恒为B的特征向量,则AB=BA.
设A,B为两个n阶矩阵,且A的n个特征值两两互异.若A的特征向量恒为B的特征向量,则AB=BA.
admin
2015-12-22
23
问题
设A,B为两个n阶矩阵,且A的n个特征值两两互异.若A的特征向量恒为B的特征向量,则AB=BA.
选项
答案
反复利用特征值、特征向量的定义,利用对角矩阵乘积可交换的性质证明AB=BA. 证 设X
1
,X
2
,…,X
n
是A的分别属于其不同特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
n
的特征向量,则X
1
,X
2
,…,X
n
线性无关,且AX
i
=λ
i
X
i
,令 P=[X
1
,X
2
,…,X
n
], 则 AP=[AX
1
,AX
2
,…,AX
n
]=[λ
1
X
1
,λ
2
X
2
,…,λ
n
X
n
] [*] 由题设,可令BX
i
=μ
i
X
i
(i=1,2,…,n),则 [*] 于是 [*] 因P可逆,故由BAP=ABP得 BAPP
-1
=ABPP
-1
。 即 AB=BA.
解析
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0
考研数学二
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