2. 考研
  3. 设A，B为两个n阶矩阵，且A的n个特征值两两互异．若A的特征向量恒为B的特征向量，则AB=BA．

设A，B为两个n阶矩阵，且A的n个特征值两两互异．若A的特征向量恒为B的特征向量，则AB=BA．

admin2015-12-22  23
问题 设A，B为两个n阶矩阵，且A的n个特征值两两互异．若A的特征向量恒为B的特征向量，则AB=BA．
选项
答案反复利用特征值、特征向量的定义，利用对角矩阵乘积可交换的性质证明AB=BA． 证 设X1，X2，…，Xn是A的分别属于其不同特征值λ1，λ2，…，λn的特征向量，则X1，X2，…，Xn线性无关，且AXi=λiXi，令 P=[X1，X2，…，Xn]， 则 AP=[AX1，AX2，…，AXn]=[λ1X1，λ2X2，…，λnXn] [*] 由题设，可令BXi=μiXi(i=1，2，…，n)，则 [*] 于是 [*] 因P可逆，故由BAP=ABP得 BAPP-1=ABPP-1。 即 AB=BA．
解析
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考研数学二

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