设A是n阶非零矩阵,Am=0,下列命题中不一定正确的是

admin2017-05-10  32

问题 设A是n阶非零矩阵,Am=0,下列命题中不一定正确的是

选项 A、A的特征值只有零.
B、A必不能对角化.
C、E+A+A2+…+Am-1必可逆.
D、A只有一个线性无关的特征向量.

答案D

解析 设Aα=λα,α≠0,则λmα=λmα=0.故λ=0.(A)正确.
因为A≠0,r(A)≥1,那么Ax=0的基础解系有n—r(A)个解,即λ=0有,n一r(A)个线性关的特征向量.故(B)正确,而(D)不一定正确.由(E—A)(E+A+A2+…+Am-1)=E—Am=E,知(C)正确.故应选(D).
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