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  3. 设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S，均有 (y＋1)f′(χ)dydz＋(y－y2)f(χ)dzdχ＋[zyf′(χ)－2zeχ]dχdy＝0， 其中f(χ)在(－∞，＋∞)内具有连续的二阶导数，求f(χ)。

设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S，均有 (y＋1)f′(χ)dydz＋(y－y2)f(χ)dzdχ＋[zyf′(χ)－2zeχ]dχdy＝0， 其中f(χ)在(－∞，＋∞)内具有连续的二阶导数，求f(χ)。

admin2017-11-30  18
问题 设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S，均有
    (y＋1)f′(χ)dydz＋(y－y2)f(χ)dzdχ＋[zyf′(χ)－2zeχ]dχdy＝0，
    其中f(χ)在(－∞，＋∞)内具有连续的二阶导数，求f(χ)。
选项
答案令p(χ，y)＝(y＋1)f′(χ)，Q(χ，y)＝(y－y2)f(χ)，R(χ，y)＝zyf′(χ)－2zeχ， 由于f(χ)在(－∞，＋∞)内具有连续的二阶导数，故p(χ，y)，Q(χ，y)，R(χ，y)均具有一阶连续偏导，故由高斯公式可知， [*](y＋1)f′(χ)dydz＋(y－y2)f(χ)dzdχ＋[zyf′(χ)－2zeχ]dχdy ＝±[*][(y＋1)f〞(χ)＋(1－2y)f(χ)＋yf′(χ)－2eχ]dχdydz＝0。 其中，Ω是由闭合曲面S所围成的区域，由区域Ω的任意性可知， (y＋1)f〞(χ)＋(1－2y)f(χ)＋yf′(χ)－2eχ＝0， 即y[f〞(χ)＋f′(χ)－2f(χ)]＋[f〞(χ)＋f(χ)－2eχ]＝0， 则有f〞(χ)＋f′(χ)－2f(χ)＝0 (1) f〞(χ)＋f(χ)－2eχ＝0 (2) 求解微分方程(1)，得f(χ)＝C1eχ＋C2e－2χ，则该通解同样满足微分方程(2)，代入可得C1 ＝1，C2＝0，故f(χ)＝eχ。
解析
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考研数学一

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