2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(a)=g(b)=1，在(a，b)内f(x)，g(x)可导，且g(x)+g’(x)≠0，f’(x)≠0．证明：

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(a)=g(b)=1，在(a，b)内f(x)，g(x)可导，且g(x)+g’(x)≠0，f’(x)≠0．证明：

admin2019-06-04  29
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(a)=g(b)=1，在(a，b)内f(x)，g(x)可导，且g(x)+g’(x)≠0，f’(x)≠0．证明：
选项
答案令φ(x)=exg(x)，则由题设可知f(x)，φ(x)在[a，b]上满足柯西中值定理，于是存在ξ∈(a，b)，使得 [*] 又因为g(a)=g(b)=1，所以 [*] 又令ψ(x)=ex，则f(x)，ψ(x)在[a，b]上满足柯西中值定理，于是存在η∈(a，b)，使得 [*] 由(*)、(**)可得 [*]
解析 ，将η和ξ均看作变量，则上式可写成

辅助函数可令φ(x)=exg(x)，ψ(x)=ex．
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考研数学一

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