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求函数f(x,y)=2x2-2y3+6x2+6y2-18x的最值。
求函数f(x,y)=2x2-2y3+6x2+6y2-18x的最值。
admin
2019-01-25
27
问题
求函数f(x,y)=2x
2
-2y
3
+6x
2
+6y
2
-18x的最值。
选项
答案
根据已知函数可得 f'
x
(x,y)=6x
2
+12x-18,f'
x
(x,y)=-6y
2
+12y, 令它们等于0得出驻点坐标 [*] 解得相应的驻点坐标为(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)。 又因为 A=f"
xx
(x,y)=12x+12,B=f"
xy
(x,y)=0,C=f"
yy
(x,y)=-12y+12, 根据极值的充分条件: 点(1,0)处,A=24,B=0,C=12,则AC-B
2
>0且A>0,因此f(1,0)=-10为极小值; 点(1,2)处,A=24,B=0,C=-12,则AC-B
2
<0,因此(1,2)不是极值点; 点(-3,0)处,A=-24,B=0,C=12,则AC-B
2
<0,因此(-3,0)不是极值点; 点(-3,2)处,A=-24,B=0,C=-12,则AC-B
2
>0且A<0,因此f(-3,2)=62为极大值。 由于函数只有一个极小值和一个极大值,因此极值也是最值,即函数的最小值为f(1,0)=-10,最大值为f(-3,2)=62。
解析
本题考查函数的最值。无条件限制的极值问题,首先通过对x和y分别求偏导令其等于0,求出函数的驻点,再分别令A=f"
xx
,B=f"
xy
,C=f"
yy
,通过判断AC-B
2
的正负判断驻点处是否取极值,是极大值还是极小值。
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/hOBRFFFM
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考研数学三
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