二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1＋χ2)2＋(2χ1＋3χ2＋χ3)2－5(χ2＋χ3)2的规范形是( )

admin2022-01-17 29

问题二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝(χ₁＋χ₂)²＋(2χ₁＋3χ₂＋χ₃)²－5(χ₂＋χ₃)²的规范形是( )

选项 A、y₂²－y₃²
B、y₁²＋y₂²－5y₃²
C、y₁²＋y₂²－y₃²
D、y₁²＋y₂²

答案A

解析二次型的规范形中，平方项的系数只能是1，－1，0．故应当排除选项B．
二次型f经整理为
f(χ₁，χ₂，χ₃)＝5χ₁²＋5χ₂²－4χ₃²＋14χ₁χ₂＋4χ₁χ₃－4χ₂χ₃．
由于｜λE－A｜＝λ(λ＋6)(λ－12)，故矩阵A的特征值是12，－6，0，因此二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，故应选A．

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