设三角形三边的长分别为a、b、c,此三角形的面积为S.求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值,并求出这三个相应的距离.

admin2019-07-28  31

问题 设三角形三边的长分别为a、b、c,此三角形的面积为S.求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值,并求出这三个相应的距离.

选项

答案设P为三角形内的任意一点,该点到边长分别为a、b、c的边的距离分别为x、y、z.由三角形的面积公式有 [*]cz=S. 求f=xyz在约束条件ax+by+cz-2S=0下的最大值,令 W=xyz+λ(ax+by+cz-2S), 由拉格朗日乘数法, [*] 解得唯一驻点为x=[*].显然,当P位于三角形的边界上时,f=0,为最小值; 当P位于三角形内部时,f存在最大值,由于驻点唯一,故当x=[*]时,f最大, [*]

解析
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