设excos 2x与3x为某n阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，设n为尽可能小的正整数，y(n)前的系数为1，则该微分方程为______．

admin2018-12-21 41

问题设e^xcos 2x与3x为某n阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，设n为尽可能小的正整数，y⁽ⁿ⁾前的系数为1，则该微分方程为______．

选项

答案y⁽⁴⁾－2[*]﹢5y^”＝0

解析 e^xcos 2x为一特解，因此有特征根1±2i；3x为一特解，因此该方程有特征根0，并且至少是二重根．于是该方程至少为4阶，对应的特征方程为
[r－(1﹢2i)][r－(1－2i)]r²＝0，
r⁴－2r³﹢5r²＝0．
所以对应的微分方程为
y⁽⁴⁾－2

﹢5y^”＝0．

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