2. 考研
  3. 设f(x)是(－∞，+∞)上连续的非负函数，且f(x) ∫0xf(x－t)dt=sin4x，求f(x)在区间[0，π]上的平均值．

设f(x)是(－∞，+∞)上连续的非负函数，且f(x) ∫0xf(x－t)dt=sin4x，求f(x)在区间[0，π]上的平均值．

admin2023-01-06  16
问题 设f(x)是(－∞，+∞)上连续的非负函数，且f(x) ∫0xf(x－t)dt=sin4x，求f(x)在区间[0，π]上的平均值．
选项
答案∫0xf(x－t)dt[*]∫x0f(u)(－du)=∫0xf(u)du， 由f(x)∫0xf(u)du=sin4x得[(∫0xf(u)du)2]’=2sin4x， (∫0xf(u)du)2=∫0x2sin4xdx+C，取x=0得C=0，即(∫0xf(u)du)2=∫0x2sin4tdt． 取x=π，则(∫0πf(u)du)2=∫0π2sin4tdt=4[*]sin4tdt=[*]， 从而∫0πf(x)dx=[*]，f(x)在[0，π]上的平均值为[*]
解析
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考研数学二

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