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  3. 设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )

设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )

admin2016-04-14  20
问题 设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是(     )
选项 A、Ax=0；A2x=0．
B、A2x=0；A3x=0．
C、A3x=0；A4x=0．
D、A4x=0；A5x=0．
答案D
解析 证明(D)成立．由法一易知用反证法．设A5x=0，但A4X≠0．
因x，Ax，A2x，A3x，A4x5个4维向量必线性相关，故存在不全为零的数k0，k1，k2，k3，k4，使得
k0x+k1Ax+k2A2x+k3A3x+k4A4x=0．(*)
(*)式两边左乘A4，得k0A4x+k1A5x+k2A6x+k3A7x+k4A8x=0k0A4x=0．
因A4x≠0，则k0=0．将k0=0代入(*)式，得k1Ax+k2A2x+k3A3x+k4A4x=0．(**)
同理可证得k1=0，k2=0，k3=0，k4=0．这和已知5个4维向量线性相关矛盾．故A5x=0A4x=
0．故A5x=0A4x=0．
(D)是同解方程组，应选(D)．
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