设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中： ①AB～BA； ②A2～B2； ③AT～BT； ④A－1～B－1．正确命题的数量为 ( )

admin2019-04-09 45

问题设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中：
①AB～BA； ②A²～B²； ③A^T～B^T； ④A^－1～B^－1．
正确命题的数量为 ( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析由A～B可知：存在可逆矩阵P，使得P^－1AP=B，故
P^－1A²P=B²， P^TA^T(P^T)^－1=B^T， P^－1A^－1P=B^－1，
所以A²～B²，A^T～B^T，A^－1～B^－1．又由于A可逆，可知A^－1(AB)A=BA，故AB～BA．故正确的命题有4个，选(D)．

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