2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中： ①AB～BA； ②A2～B2； ③AT～BT； ④A－1～B－1． 正确命题的数量为 ( )

设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中： ①AB～BA； ②A2～B2； ③AT～BT； ④A－1～B－1． 正确命题的数量为 ( )

admin2019-04-09  52
问题 设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中：
①AB～BA；    ②A2～B2；    ③AT～BT；    ④A－1～B－1．
正确命题的数量为    (    )
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 由A～B可知：存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B，故
P－1A2P=B2，  PTAT(PT)－1=BT，  P－1A－1P=B－1，
所以A2～B2，AT～BT，A－1～B－1．又由于A可逆，可知A－1(AB)A=BA，故AB～BA．故正确的命题有4个，选(D)．
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考研数学三

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