已知连续函数f(x)满足条件f(x)=∫03xdt+e2x,求f(x).

admin2022-10-13 27

问题已知连续函数f(x)满足条件f(x)=∫₀^3x

dt+e^2x,求f(x).

选项

答案两端同时对x求导数，得一阶线性微分方程f’(x)=3f(x)+2e^2x,即 f’(x)－3f(x)=2e^2x 解此方程，得 f(x)=(∫Q(x)e^∫P(x)dxdx+C)e^－∫P(x)dx=(∫2e^2x·e^-3xdx+C)e^3x =(2∫e^-xdx+C)e^3x=(－2e^-x+C)e^3x=Ce^3x－2e^2x 由于f(0)=1，可得C=3,于是f(x)=3e^3x－2e^2x.

解析

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考研数学三

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求连续函数f(x)，使它满足f(x)+2∫0xf(t)dt=x2．
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