设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是( )

admin2017-09-07 28

问题设n维列向量组α₁，α₂，…，α_m(m＜n)线性无关，则n维列向量组β₁，β₂，…，β_m线性无关的充分必要条件是( )

选项 A、向量组α₁，α₂，…，α_m可以由β₁，β₂，…，β_m线性表示．
B、向量组β₁，β₂，…，β_m可以由α₁，α₂，…，α_m线性表示．
C、向量组α₁，α₂，…，α_m与β₁，β₂，…，β_m等价．
D、矩阵A=(α₁，α₂，…，α_m)与矩阵B=(β₁，β₂，…，β_m)等价．

答案D

解析设α₁=(1，0，0，0)^T，α₂=(0，1，0，0)^T；β₁=(0，0，1，0)^T，β₂=(0，0，0，1)^T各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，故排除A、B；既然不能相互线性表示，则不可能有等价关系，故排除C．D选项：因为n维向量组α₁，α₂，…，α_m无关，则R(α₁，α₂，…，α_m)=m，同理，由n维向量组β₁，β₂，…，β_m无关得R(β₁，β₂，…，β_m)=m，故设A=(α₁，α₂，…，α_m)，B=(β₁，β₂，…，β_m)，A与B同型，且R(A)=R(B)，由矩阵等价的充要条件得A与B等价．

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考研数学一

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