在区间[0，π]上讨论方程sin3xcosx=a(a＞0)的实根的个数。

admin2021-04-16 37

问题在区间[0，π]上讨论方程sin³xcosx=a(a＞0)的实根的个数。

选项

答案为讨论方程在区间[0，π]上实根的个数，需研究函数的性态，特别是单调区间、极值等，以确定在[0，π]上相应的函数曲线的大致形状。设f(x)=sin³xcosx-a，则f(0)=f(π)=-a＜0，且f’(x)=sin²x(2cos2x+1)，f”(x)=sin2x(4cos2x-1)，令f’(x)=0，解得f(x)在(0，π)内的驻点为x=π／3与x=2π／3，由于 [*] 可见，f(π／3)=[*]=a是极大值，f(2π／3)=-[*]-a是极小值，因此，当a＜[*]时，方程有两实根，分别位于区间(0，π／3)与(π／3，2π／3)内；当a=[*]时，方程仅有唯一实根如x₀=π／3；当a＞[*]时，方程无实根。

解析

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考研数学三

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