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设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,又设f’(0)=a(a≠0),试证明对任意x,f’(x)都存在,并求f(x)。
设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,又设f’(0)=a(a≠0),试证明对任意x,f’(x)都存在,并求f(x)。
admin
2017-08-28
34
问题
设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
,又设f’(0)=a(a≠0),试证明对任意x,f’(x)都存在,并求f(x)。
选项
答案
将x=y=0代入f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
,得f(0)=0。由导数定义得 [*] =f(x)+f’(0)e
x
=f(x)+ae
x
, 所以对任意x,f’(x)都存在,且f’(x)=f(x)+ae
x
。 解此一阶线性方程,得 f(x)=e
∫dx
(∫ae
x
e
-∫dx
,dx+C)=e
x
(ax+C), 再由f(0)=0,得C=0,即f(x)=axe
x
。
解析
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考研数学一
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