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设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )
设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )
admin
2019-02-18
24
问题
设A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,则下列矩阵中不一定能通过正交变换化成对角阵的是( )
选项
A、Q=AB-BA.
B、P=A
T
B(B-B
T
)A.
C、R=BAB.
D、W=BA-2AB.
答案
D
解析
因(BA-2AB)
T
=(BA)
T
-2(AB)
T
=A
T
B
T
-2B
T
A
T
=-AB+2BA,它不是对称矩阵,故它不一定能化成对角矩阵,当然就不一定能用正交变换化为对角矩阵.故选D.
只有实对称矩阵才可以用正交矩阵进行相似对角化.
对于选项A,
Q
T
=(AB-BA)
T
=(AB)
T
-(BA)
T
=B
T
A
T
-A
T
B
T
=AB-BA=Q,
Q为实对称矩阵,可用正交变换进行相似对角化,故排除A.
同理,对于选项B,
P=A
T
B(B-B
T
)A=2A
T
B
2
A,P
T
=(2A
T
B
2
A)
T
=2A
T
(B
2
)
T
A=2A
T
(B
T
)
2
A=2A
T
B
2
A=P,
P为实对称矩阵,故排除B.
选项C,
R
T
=(BAB)
T
=B
T
A
T
B
T
=-BA(-B)=BAB=R,
R为实对称矩阵,故排除C.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/eR1RFFFM
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考研数学一
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