计算I=(x+y+z)dxdydz,其中Ω为三个坐标平面与平面x+y+z=1所围成的区域.

admin2022-07-21  42

问题 计算I=(x+y+z)dxdydz,其中Ω为三个坐标平面与平面x+y+z=1所围成的区域.

选项

答案先一后二 区域Ω关于变量x,y,z具有轮换对称性,故[*].将Ω投影在xOy面上,其投影区域D为由直线x=0,y=0,x+y=1围成的三角形,即D:0≤x≤1,0≤y≤1-x,在D内任取一点(x,y),过(x,y)作垂直于xOy面的直线,交Ω的上方边界为z=1-x-y,下方边界为z=0,于是 I=[*]∫01-x-yxdz=3∫01dx∫01-xdy∫01-x-yxdz =3∫01dx∫01-x(1-x-y)dy=[*]x(1-x)2dx=1/8

解析
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