设A是一个n阶实矩阵，使得AT+A正定，证明A可逆．

admin2017-10-21 28

问题设A是一个n阶实矩阵，使得A^T+A正定，证明A可逆．

选项

答案矩阵可逆，有好几个充分必要条件，本题从哪个条件着手呢?行列式不好用，虽然A^T+A正定可得｜A^T+A｜≠0，但是由此不能推出｜A｜≠0．用秩也不好下手．用“AX=0没有非零解”则切合条件．设n维实列向量α满足Aα=0，要证明α=0． α^T(A^T+A)α=α^TA^Tα+α^TAα=(Aα)^Tα+α^TAα=0．由A^T+A的正定性得到α=0．

解析

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考研数学三

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