2. 考研
  3. 设有两个n元齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，证明： (1)若Ax=0的解都是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)． (2)若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)．

设有两个n元齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，证明： (1)若Ax=0的解都是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)． (2)若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)．

admin2017-07-26  69
问题 设有两个n元齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，证明：
    (1)若Ax=0的解都是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)．
    (2)若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)．
选项
答案(1)由条件知Ax=0的解空间是Bx=0的解空间的子空间，因此，Ax=0的解空间的维数不大于Bx=0的解空间的维数，即n一r(A)≤n一r(B)，于是得r(A)≥r(B)． (2)由条件知Ax=0的解空间与Bx=0的解空间为同一空间，因而该空间的维数为 n一r(A)=n一r(B)，由此即得r(A)=r(B)．
解析
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考研数学三

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