2. 考研
  3. 设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫－aa｜x一t｜f(t)dt。 证明F’(x)单调增加；

设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫－aa｜x一t｜f(t)dt。 证明F’(x)单调增加；

admin2018-01-30  39
问题 设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫－aa｜x一t｜f(t)dt。
证明F’(x)单调增加；
选项
答案由已知F(x)=∫－aa｜x一t｜f(t)dt=∫－ax(x一t)f(t)dt+∫xa(t－x)f(t)dt =x∫－axf(t)dt一∫－axtf(t)dt+∫xatf(t)dt一x∫xaf(t)dt =x∫－axf(t)dt一∫－axtf(t)dt一∫axtf(t)dt+x∫axf(t)dt， F’(x)=∫－axf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(x)+∫axf(t)dt+xf(x) =∫－axf(t)dt—∫xaf(t)dt。 所以f’’(x)=2f(x)＞0，因此F’(x)为单调增加的函数。
解析
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考研数学二

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