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假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=一1}=,求:(I)Z=XY的概率密度fZ(z);(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v).
假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=一1}=,求:(I)Z=XY的概率密度fZ(z);(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v).
admin
2017-08-07
47
问题
假设随机变量X与Y相互独立,如果X服从标准正态分布,Y的概率分布为P{Y=一1}=
,求:(I)Z=XY的概率密度f
Z
(z);(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度f
V
(v).
选项
答案
(I)依题意P{Y=一1}=[*]X~N(0,1)且X与Y相互独立,于是Z=XY的分布函数为 F
Z
(z)=P{XY≤z}=P{Y=一1}P{XY≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{XY≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{一X≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z} [*] 即Z=XY服从标准正态分布,其概率密度为 [*] (Ⅱ)由于V=|X—Y|只取非负值,因此当v<0时,其分布函数F
V
(v)=P{|X—Y|≤v}=0;当v≥0时, F
V
(v)=P{一v≤X—Y≤v} =P{Y=一1}P{一v≤X—Y≤v|Y=一1}+P{Y=1}P{一v≤X—Y≤v|Y=1} [*] 由于F
V
(v)是连续函数,且除个别点外,导数存在,因此V的概率密度为 [*]
解析
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考研数学一
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