已知f(x)在[a,b]上连续且f(a)=f(b),在(a,b)内f"(x)存在,连接A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于C(c,f(x))且a<c<b,试证在(a,b)内至少有一点ξ使得f"(ξ)=0.

admin2017-08-18  11

问题 已知f(x)在[a,b]上连续且f(a)=f(b),在(a,b)内f"(x)存在,连接A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于C(c,f(x))且a<c<b,试证在(a,b)内至少有一点ξ使得f"(ξ)=0.

选项

答案由题意知f(x)=f(b)=f(c),在(a,c)内有一点η1,使得f’(η1)=0,在(c,b)内有一点η2,使得f’(η2)=0.这里a<η1<c<η2<b。再由罗尔定理.知在(η1,η2)内有一点ξ,使得f"(ξ)=0.

解析
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