2. 考研
  3. 设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与 (Ⅱ)等价．

设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与 (Ⅱ)等价．

admin2015-07-22  39
问题 设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与 (Ⅱ)等价．
选项
答案设(Ⅰ)的一个极大无关组为ξ1，ξ2，…，ξr，(1I)的一个极大无关组为η1，η2，…，ηr． 因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)表示，即ξ1，ξ2，…，ξr可由η1，η2，…，ηr线性表示，于是 r(ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηr)=r(η1，η2，…，ηr)=r 又ξ1，ξ2，…，ξr线性无关，则ξ1，ξ2，…，ξr也可作为ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηr的一个极大无关组，于是η1，η2，…，ηr也可由ξ1，ξ2，…，ξr表示，即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)表示，得证．
解析
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考研数学三

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