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  3. 设二次型 f(x1，x2，x3)＝xTAx＝(x1，x2，x3)，满足＝2，AB＝O，其中B＝ 用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；

设二次型 f(x1，x2，x3)＝xTAx＝(x1，x2，x3)，满足＝2，AB＝O，其中B＝ 用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；

admin2018-07-26  34
问题 设二次型
f(x1，x2，x3)＝xTAx＝(x1，x2，x3)，满足＝2，AB＝O，其中B＝
用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；
选项
答案由题设条件AB＝A[*]＝O，故B的3个列向量都是Ax＝0的解向量，也是A的对应于λ＝0的特征向量，其中ξ1＝[*]，线性无关且正交，[*]，故λ＝0至少是二重特征值． 又因[*]＝，另一个特征值是λ3＝2，故λ1＝λ2＝0是二重特征值．因A是实对称矩阵，故对应λ3＝2的特征向量应与ξ1，ξ2正交，设ξ3＝(x1，x2， x3)1，则有 [*] 故存在正交变换x＝Qy,其中Q＝[*]，使得f＝xTAx＝yT[*].
解析
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考研数学一

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