设矩阵,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是

admin2015-05-07  27

问题 设矩阵,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案D

解析
可知矩阵A的特征值是3,-3,0,故秩r(A)=2,二次型xTAx的正、负惯性指数均为1.
    (A)中矩阵的秩为1,不可能与矩阵A等价;(C)中矩阵的特征值为3,-3,0,与矩阵A不仅等价、合同,而且也是相似的,不符合题意.
    对于(D),记其矩阵为D,由

可知D的特征值为1,-1,0.xTAx与xTDx的正、负惯性指数一样,所以它们合同但不相似(因为特征值不同),符合题意,故应选(D).
    注意,(B)中矩阵的特征值为1,4,0,正惯性指数p=2,负惯性指数q=1,与A既不合同也不相似,但等价(因为秩相等).
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