2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． 证明β，Aβ，A2β线性无关；

设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3． 证明β，Aβ，A2β线性无关；

admin2021-07-27  64
问题 设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．
证明β，Aβ，A2β线性无关；
选项
答案设存在一组常数k1，k2，k3，使k1β+k2Aβ+k3A2β=0，(*)由题设有Aαi=λiαi(i=1，2，3)，于是Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=α1α1+λ2α2+λ3α3，A2β=λ12α1+联系2α2+λ32α3，代入(*)式整理得(k1+k2λ1+k3λ12)α1+(k1+k2λ2+k3λ22)α2+(k1+k2λ3+k3λ32)α3=0．因为α1，α2，α3是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有[*]这是一个关于未知数k1，k2，k3的线性方程组，其系数行列式[*]≠0，必有k1k2k3=0，故β，Aβ，A2β线性无关．
解析
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考研数学二

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