2. 考研
  3. 设f(x)是区间上单调、可导的函数，且满足∫0f(x)f(—1)(t)dt= 其中f—1是f的反函数，求f(x)。[img][/img]

设f(x)是区间上单调、可导的函数，且满足∫0f(x)f(—1)(t)dt= 其中f—1是f的反函数，求f(x)。[img][/img]

admin2019-03-21  46
问题 设f(x)是区间上单调、可导的函数，且满足∫0f(x)f(—1)(t)dt= 其中f—1是f的反函数，求f(x)。[img][/img]
选项
答案在∫0f(x)f—1(t)dt=[*]的两边同时对x求导得 [*] 也就是[*]，即[*] 两边再分别积分得 f(x)=ln｜sinx+cosx｜+C。 (*) 将x=0代入题中的已知方程可得 ∫0(0)f—1(t)d=[*] 由于f(x)是区间[*]上单调、可导的函数，则f—1(x)的值域为[*]，且为单调非负的，所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln｜sinx+cosx｜。
解析
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考研数学二

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