设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则下列命题中: ①若A可逆,则B可逆; ②若A+B可逆,则B可逆; ③若B可逆,则A+B可逆; ④A—B恒可逆. 正确的个数为 ( )

admin2019-04-09  60

问题 设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则下列命题中:
    ①若A可逆,则B可逆;
    ②若A+B可逆,则B可逆;
    ③若B可逆,则A+B可逆;
    ④A—B恒可逆.
正确的个数为 (     )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 由于(A-E)B=A,可知当A可逆时,|A—E||B|≠0,故|B|≠0,因此|B|可逆,可知①是正确的.
    当A+B可逆时,|AB|=|A||B|≠0,故|B|≠0,因此B可逆.可知②是正确的.
    类似地,当B可逆时,A可逆,故|AB|=|A||B|≠0,因此AB可逆,故A+B也可逆,可知③是正确的.
    最后,由AB=A+B可知(A—E)B—A=O,也即(A—E)B一(A—E)=E,进一步有(A—E)(B—E)=E,故A—E恒可逆.可知④也是正确的.
    综上,4个命题都是正确的,故选(D).
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