二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋ax22＋x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3经过正交变换化为标准形 5y12＋by22－4y32，求： (1)常数n，b； (2)正交变换的矩阵Q．

admin2017-12-31 55

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)＝x₁²＋ax₂²＋x₃²－4x₁x₂－8x₁x₃－4x₂x₃经过正交变换化为标准形
5y₁²＋by₂²－4y₃²，求：
(1)常数n，b； (2)正交变换的矩阵Q．

选项

答案(1)令[*]，则f(x₁，x₂，x₃)＝X^TAX，矩阵A的特征值为λ₁＝5，λ₂＝b，λ₃＝－4， [*] (2)将λ₁＝λ₂＝5代入(λE－A)X＝0，即(5E－A)X＝0，由5E－A＝[*]得λ₁＝λ₂＝5对应的线性无关的特征向量为α₁＝ [*] 将λ₃＝－4代入(λE－A)X＝0，即(4E＋A)X＝0，由4E＋A＝[*]得λ₃＝－4对应的线性无关的特征向量为 [*] 所求的正交变换矩阵为Q＝[*]．

解析

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考研数学三

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