2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续且单凋减少，且f(x)＞0.证明：

设f(x)在[0，1]上连续且单凋减少，且f(x)＞0.证明：

admin2022-08-19  14
问题 设f(x)在[0，1]上连续且单凋减少，且f(x)＞0.证明：
选项
答案[*] ∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx≥∫01f(x)dx∫01xf2(x)dx， 等价于∫01f2(x)dx∫01yf(y)dy≥∫01f(x)dx∫01yf2(y)dy，或者 ∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy≥0， 令I=∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy， 根据对称性，I=∫01dx∫01xf(x)f(y)[f(y)～f(x)]dy， 2I=∫01dx∫01f(x)f(y)(y-x)[f(x)-f(y)]dy， 因为f(x)＞0且单调减少，所以(y-x)[f(x)-f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0， [*]
解析
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考研数学三

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