设A=(α1，α2，α3)是5×3矩阵β1，β2是齐次线性方程组ATx=0的基础解系，试证α1，α2，α3，β1，β2线性无关

admin2019-12-26 45

问题设A=(α₁，α₂，α₃)是5×3矩阵β₁，β₂是齐次线性方程组A^Tx=0的基础解系，试证α₁，α₂，α₃，β₁，β₂线性无关

选项

答案因β₁，β₂是齐次线性方程组A^Tx=0的基础解系，所以有5-r(A^T)=2，即r(A)=3，故α₁，α₂，α₃线性无关又 [*] 有 α_j^Tβ_i=0(i=1，2，j=1，2，3)．设 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄β₁+k₅β₂=0，令 γ=k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=－k₄β₁－k₅β₂，则 (k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃，－k₄β₁－k₅β₂)=(γ，γ)=0．因而 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0，－k₄β₁－k₅β₂=0，而α₁，α₂，α₃及β₁，β₂是线性无关的，故k₁=k₂=k₃=0，k₄=k₅=0，从而α₁，α₂，α₃，β₁，β₂线性无关．

解析

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考研数学三

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