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设A是3阶实对称矩阵，二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy后的标准形为y12+y22-y32，则二次型g(x1，x2，x3)=xTAA*x经可逆线性变换x=Py后的规范形为( )
设A是3阶实对称矩阵，二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy后的标准形为y12+y22-y32，则二次型g(x1，x2，x3)=xTAA*x经可逆线性变换x=Py后的规范形为( )
admin
2022-05-20
31
问题
设A是3阶实对称矩阵，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax经正交变换x=Qy后的标准形为y
1
2
+y
2
2
-y
3
2
，则二次型g(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
AA
*
x经可逆线性变换x=Py后的规范形为( )
选项
A、y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
B、-y
1
2
-y
2
2
+y
3
2
C、-y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
D、y
1
2
+y
2
2
-y
3
2
答案
C
解析
由已知，f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax经正交变换x=Qy的标准形为y
1
2
+y
2
2
-y
3
2
，故
A的特征值为1，1，-1，所以|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=-1．
又由于AA
*
=|A|E=-E，故
g(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
(-E)x=-x
T
x=-x
1
2
-x
2
2
-x
3
2
．
由惯性定理，知二次型经可逆变换后，正、负惯性指数不变．C正确．
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/YyfRFFFM
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考研数学三
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