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设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分的值恒为同一常数。 (Ⅰ)证明对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有 (Ⅱ)求函数φ(y)的表达式。
设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分的值恒为同一常数。 (Ⅰ)证明对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有 (Ⅱ)求函数φ(y)的表达式。
admin
2017-01-14
22
问题
设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分
的值恒为同一常数。
(Ⅰ)证明对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有
(Ⅱ)求函数φ(y)的表达式。
选项
答案
(Ⅰ)如图1-6-12所示,将C分解为:C=l
1
+l
2
,另作一条曲线l
3
围绕原点且与C相接,根据题设条件则有 [*] (Ⅱ)设P=[*],P,Q在单连通区域x>0内,具有一阶连续偏导数。由(Ⅰ)知,曲线积分[*]在该区域内与路径无关,故当x>0时,总有 [*] 比较(1)、(2)两式的右端,得 [*] 由(3)得φ(y)=-y
2
+C,将q(y)代入(4)得2y
5
-4Cy
3
=2y
5
,所以C=0,从而φ(y)=-y
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/YiwRFFFM
0
考研数学一
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