设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f’’(x)|≤1(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明:|f’(x)|≤(x∈[0,1]).

admin2017-08-31  21

问题 设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f’’(x)|≤1(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明:|f(x)|≤(x∈[0,1]).

选项

答案由泰勒公式得 f(0)=f(x)一f(x)x+[*]f’’1)x2,ξ1∈(0,x), f(1)=f(x)+f(x)(1一x)+[*]f’’2)(1一x)2,ξ2∈(x,1), 两式相减,得f(x)=[*]f’’2)(1一x)2. 两边取绝对值,再由|f’’(x)|≤1,得 |f(x)|≤[*].

解析
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