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  3. [2007年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．

[2007年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．

admin2019-04-28  22
问题 [2007年]  设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是(    )．
选项 A、α1一α2，α2一α3，α3一α1
B、α1+α2，α2+α3，α3+α1
C、α1—2α2，α2—2α3，α3—2α1
D、α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1
答案A
解析 解一  用观察易知，选项(A)中向量有关系(α1－α2)+(α2－α3)+(α3－α1)=0，故(A)中向量线性相关．
    解二  由命题2．3．2．3判别之．s=3为奇数，k=3也为奇数，故(A)中向量线性相关．
    (注：命题2．3．2．3  已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1±α2，β2=α2±α3，…，βs-1=αs-1±αs，βs=αs±α1，其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β1，β2，…，βs线性相关；(2)当s与k的奇偶性不同时，向量组β1，β2，…，βs线性无关．)
        解三  用线性相关的定义判定．为此令
                     x1(α1－α2)+x2(α2－α3)+x3(α3－α1)=0，
即    (x1－x3)α1+(－x1+x2)α2+(－x2+x3)α3=0．
    因α1，α2，α3线性无关，故
因其系数矩阵行列式等于零，故上述方程组有非零解，即α1－α2，α2－α3，α3－α1线性相关．
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考研数学三

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