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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且Aα1=α2,A2α1=α3,A3α1=-α1. (I)证明矩阵A+2E可逆,并求(A+2E)-1; (Ⅱ)如果α1=(1.0,一1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(一1,1,1)T,求矩阵A.
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且Aα1=α2,A2α1=α3,A3α1=-α1. (I)证明矩阵A+2E可逆,并求(A+2E)-1; (Ⅱ)如果α1=(1.0,一1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(一1,1,1)T,求矩阵A.
admin
2020-09-23
16
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,且Aα
1
=α
2
,A
2
α
1
=α
3
,A
3
α
1
=-α
1
.
(I)证明矩阵A+2E可逆,并求(A+2E)
-1
;
(Ⅱ)如果α
1
=(1.0,一1)
T
,α
2
=(0,1,1)
T
,α
3
=(一1,1,1)
T
,求矩阵A.
选项
答案
(I)由已知条件知 A
3
α
1
=-α
1
, A
3
α
2
=A
4
α
1
=A(A
3
α
1
)=一Aα
1
=一α
2
, A
3
α
3
=A
5
α
1
=A
2
(A
3
α
1
)=一A
2
α
1
=-α
3
, 则A
3
(α
1
,α
2
,α
3
)=(A
3
α
1
,A
3
α
2
,A
3
α
3
)=一(α
1
,α
2
,α
3
), 记B=(α
1
,α
2
,α
3
),因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则矩阵B可逆,于是A
3
B=一B,等式两端 右乘B
-1
,得A
3
=一E,故A
3
+8E=7E,即 [*] 于是A+2E可逆,且(A+2E)
-1
=[*] (Ⅱ)由已知条件知Aα
1
=α
2
,Aα
2
=A
2
α
1
=α
3
,Aα
3
=A
3
α
1
=一α
1
,从而有 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
2
,α
3
,一α
1
), 即 [*] 故 [*]
解析
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考研数学一
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