设f(x)在[0,1]上有定义,且exf(x)与e-f(x)在[0,1]上单调递增,证明:f(x)在[0,1]上连续。

admin2019-09-23  28

问题 设f(x)在[0,1]上有定义,且exf(x)与e-f(x)在[0,1]上单调递增,证明:f(x)在[0,1]上连续。

选项

答案对任意的x0∈[0,1],因为ex与e-f(x)在[0,1]上单调增加, 所以当x<x0时,有[*]故f(x0)≤f(x)≤[*]f(x0) 令[*],由迫敛定理得f(x0-0)=f(x0); 当x>x0时,有[*]f(x0)≤f(x)≤f(x0), 令[*],由迫敛定理得f(x0+0)=f(x0),故f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0), 即f(x)在x=x0处连续,由x0的任意性得f(x)在[0,1]上连续。

解析
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