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设有两个线性方程组: 其中向量b=(b1,b2,…,bm)T≠0.证明I方程组(I)有解的充分必要条件,是(Ⅱ)的每一解y=(y1,y2,…,ym)T都满足方程b1y1+b2y2+…+bkym=0.
设有两个线性方程组: 其中向量b=(b1,b2,…,bm)T≠0.证明I方程组(I)有解的充分必要条件,是(Ⅱ)的每一解y=(y1,y2,…,ym)T都满足方程b1y1+b2y2+…+bkym=0.
admin
2016-04-11
29
问题
设有两个线性方程组:
其中向量b=(b
1
,b
2
,…,b
m
)
T
≠0.证明I方程组(I)有解的充分必要条件,是(Ⅱ)的每一解y=(y
1
,y
2
,…,y
m
)
T
都满足方程b
1
y
1
+b
2
y
2
+…+b
k
y
m
=0.
选项
答案
记A=(a
ij
)
m×n
,x=(x
1
,x
2
,…,x
n
)
T
,y=(y
1
,y
2
,…,y
m
)
T
,则方程组(I)的矩阵形式为Ax=b,方程组(Ⅱ)的矩阵形式为A
T
y=0,方程[*]b
i
y
i
=0的矩阵形式为b
T
y=0.必要性:设方程组(I)有解x,y为(II)的任一解,则b
T
y=(Ax)
T
y=x
T
(A
T
y)=x
T
0=0,故(II)的任一解y都满足方程b
T
y=0.充分性:在充分性条件下,两个齐次线性方程组[*]=0与A
T
y=0同解,故其系数矩阵的秩相同,从而系数矩阵的转置矩阵的秩也相同,即r(A)=r(A|b),由有解判定定理知方程组(I)有解.
解析
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考研数学一
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