已知函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=f2(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是( )

admin2019-08-12 54

问题已知函数f(x)具有任意阶导数，且f^’(x)=f²(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是( )

选项 A、n！[f(x)]^n＋1。
B、n[f(x)]^n＋1。
C、[f(x)]²ⁿ。
D、n！[f(x)]²ⁿ。

答案A

解析由f^’(x)=f²(x)可得，f^’’(x)=2f(x)f^’(x)=2！[f(x)]³。
假设f^(k)(x)=k！[f(x)]^k＋1，则
f^(k＋1)(x)=(k+1)k！[f(x)]^kf^’(x)=(k+1)！[f(x)]^k＋2，由数学归纳法可知，f⁽ⁿ⁾(x)=n！[f(x)]^n＋1对一切正整数成立。

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