求曲线x=acos3t，y=asin3t绕直线y=x旋转一周所得曲面的面积

admin2016-10-26 23

问题求曲线x=acos³t，y=asin³t绕直线y=x旋转一周所得曲面的面积

选项

答案如图3．30，曲线关于y=±x对称，只需考察t∈[*]一段曲线．现在没有现成的公式可用．用微元法导出旋转面的面积公式．任取曲线的小微元，端点坐标为(x(t)，y(t))=(acos³t，asin³t)，它到直线y=x的距离为l(t)=[*] [*] 曲线微元的弧长ds=[*]dt=3a｜sintcost｜dt，它绕y=x旋转所得曲面微元的面积为ds=2πl(t)ds=2π[*].3a｜sintcost｜dt，因此整个旋转面的面积为 [*]

解析

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考研数学一

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由结论可知，若令φ(x)＝xf(x)，则φˊ(x)＝f(x)＋xfˊ(x)．因此，只需证明φ(x)在[0，1]内某一区间上满足罗尔定理的条件．令φ(x)＝xf(x)，由积分中值定理可知，存在η∈(0，1／2)使[*]
设半径为R的球面∑的球心在定球面x2＋y2＋z＝a2(a＞0)上，问当R为何值时，球面∑在定球面内部的那部分的面积最大．
=_________，其中Ω为曲线绕z轴旋围一周而成曲面与平面z=2，z=8所围立体．
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