设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. 证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.

admin2012-03-26  49

问题 设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵

其中A*是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.
证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.

选项

答案用行列式拉普拉斯展开公式及行列式乘法公式,有 [*] =丨A丨2(b-αTA-1α). 又因A可道,丨A丨≠0 故丨Q丨=丨A丨(b-αTA-1α). 由此可知Q可逆的充分必要条件是b-αTA-1≠0 即αTA-1α≠b.

解析
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