设3阶实对称矩阵A的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)T和(2,1,1)T和(﹣1,2,﹣3)T都是6的特征向量.(1)求A的另一个特征值及相应的特征向量;(2)求A.

admin2020-06-05  17

问题 设3阶实对称矩阵A的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)T和(2,1,1)T和(﹣1,2,﹣3)T都是6的特征向量.(1)求A的另一个特征值及相应的特征向量;(2)求A.

选项

答案(1)因为R(A)=2,所以|A|=0,根据特征值的性质以及6是矩阵A的二重特征值可知A有一特征值为0.又向量(1,1,0)T,(2,1,1)T和(﹣1,2,﹣3)T的极大无关组为p1=(1,1,0)T,p2=(2,1,1)T,因而矩阵A的属于特征值6的特征向量为c1p1+c2p2(c1,c2不全为零).不妨设矩阵A的属于特征值0的特征向量为p1=(x1,x2,x3),注意到是对称矩阵不同特征值所对应的特征向量正交,则 [*] 解得基础解系为(﹣1,1,1)T,所以矩阵A的属于特征值0的特征向量为c(﹣1,1,1)T(c≠0). (2)由矩阵特征值与特征向量的定义可得 A(p1,p2,p3)=(6p1,6p2,0) 因此 [*]

解析
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