2. 专升本
  3. 设f(x)，g(x)在区间[-a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)， (1)证明：∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx． (2)利用(1)结论计算定积分|sinx|arctanex

设f(x)，g(x)在区间[-a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)， (1)证明：∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx． (2)利用(1)结论计算定积分|sinx|arctanex

admin2016-04-01  29
问题 设f(x)，g(x)在区间[-a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)，
(1)证明：∫-aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx．
(2)利用(1)结论计算定积分|sinx|arctanexdx．
选项
答案(1)∫-aaf(x)g(x)dx=∫-a0f(x)g(x)dx+∫0af(x)g(x)dx， 令u=-x，∫-a0f(x)g(x)dx=-∫a0f(-u)g(-u)du=∫0af(x)g(x)dx， 所以∫-aaf(x)g(x)dx=∫0af(-x)g(x)dx+∫0af(x)g(x)dx =∫0a[f(-x)+f(x)]g(x)dx=A∫0ag(x)dx． (2)取f(x)=arctanex，g(x)=|sinx|，a=π／2，且f(x)+f(-x)=arctanex+arctane-x=π／2， [*]
解析
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