已知矩阵A=有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q-1AQ=Λ。

admin2018-01-26  15

问题 已知矩阵A=有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q-1AQ=Λ。

选项

答案因λ=5是矩阵A的特征值,则由 |5E-A|=[*]=3(4-a2)=0, 可得a=±2。 当a>0,即a=2时,则由矩阵A的特征多项式 |λE-A|=[*]=(λ-2)(λ-5)(λ-1)=0, 可得矩阵A的特征值是1,2,5。 由(E-A)x=0,得基础解系α1=(0,1,-1)T; 由(2E-A)x=0,得基础解系α2=(1,0,0)T; 由(5E-A)x=0,得基础解系α3=(0,1,1)T。 即矩阵A属于特征值1,2,5的特征向量分别是α1,α2,α3。 由于A为实对称矩阵,且实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故只需将以上特征向量单位化,即有 γ1=[*],γ2=[*],γ3=[*] 那么,令Q=(γ1,γ2,γ3)=[*],则有Q-1AQ=[*]

解析
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